Question

已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如图所示的坐标系.

(1)确定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P;

(2)当B₁Q⊥D₁P时，求二面角C₁-PQ-A的正切值.

Answer 1

解:(1)设BP=t,则

∴B₁(2,0,2),D₁(0,2,2),P(2,t,0),Q(2-2-(2-t)²,2,0).

∴

=(-2,2-t,2).

∵B₁Q⊥D₁P

即-2-2(2-t)+2×2=0,

即=t.

解得t=1.

此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B₁Q⊥D₁P.

(2)当B₁Q⊥D₁P时，由(1)知，P、Q分别是棱BC、CD的中点，在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ.

设AC与PQ的交点为E，连结C₁E.在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，CE是C₁E在底面ABCD内的射影，

∴C₁E⊥PQ,即∠C₁EC是二面角C₁PQC的平面角，∠C₁EA是二面角C₁PQA的平面角.

在正方形ABCD中，CE=.

在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC=

∴二面角C₁PQA的正切值为-2.