Question

【题目】甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当ξ=7时，若甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，

但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为 ，

因此P（ξ=7）=

（2）解：设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，

向上的点数是偶数出现的次数为n，

则由 ，可得：

当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；

当m=6n=1或m=1，n=6时，ξ=7

当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9．

因此ξ的可能取值是5、7、9

每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是

所以ξ的分布列是：

故 ．

【解析】对于（1）求掷骰子的次数为7的概率．首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为 ，若第7次甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”．若乙赢同样．故可根据二项分布列出式子求解即可．
对于（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．故可以设奇数出现的次数为m，偶数出现的次数为n．然后根据题意列出关系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分别求出概率即可得到ξ的分布列，再根据期望公式求得Eξ即可．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．