Question

设区间（0，1）内的实数x对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个圆，使两端A、B恰好重合，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），射线AM与ox轴交于点N（f（x），0）根据这一映射法则可得f（x）与x的函数关系式为

f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）

．

Answer 1

分析：设AB围成圆P，圆P与y轴另一个交点为C，连接CM．利用Rt△CMA∽Rt△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①．圆P中利用弧度制定义和直角三角形三角函数的定义，算出AM、CM关于x的表达式，结合ON=f（x），OA=1，代入①化简，即得f（x）与x的函数关系式．

解答：解：设AB围成的圆为圆P，圆P与y轴另一个交点为C，连接CM
∵AC是圆N的直径
∴∠CMA=∠NOA=90°
∵∠CAM=∠NAO，
∴△CMA∽△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①
∵Rt△ACM中，直径AC=

1

π

，2∠ACM=

弧AM

1 2 AC

=2πx
∴AM=ACsin∠ACM=

1

π

sinπx，CM=

1

π

cosπx，
而ON=f（x），OA=1，代入①得；

1 π cosπx

f(x)

=

1 π sinπx

1

∴f（x）与x的函数关系式为f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）
故答案为：f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）

点评：本题给出长度为1的线段围成圆后放入坐标系中，求圆的弦所在直线与x轴交点坐标的表达式，着重考查了弧度制定义、三角函数的定义和三角形相似等知识，属于基础题．