Question

已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（

2

，

3

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，利用双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（

2

，

3

），建立方程组，求出几何量，即可得出双曲线的方程；
（2）先由PF⊥x轴时，求出λ的值，再证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（

2

，

3

），
∴

a2+b2=4 2 a2 - 3 b2 =1

，∴a=1，b=

3

，
∴双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1；
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x₀，y₀），则k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，k_PF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2• y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．
由x02-

y02

3

=1得y₀²=3（x₀²-1）代入上式，得tan2∠PAF=tan∠PFA恒成立．
∵∠PFA∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

），∠PAF∈（0，

π

4

）∪（

π

4

，

π

3

），
∴∠PFA=2∠PAF恒成立．
综上，常数λ为2．

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查存在性问题的探求，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．