Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边
形周长等于8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M、N是直线x=4上的两个动点，且-=0．设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由离心率的值、及椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8这2个条件求出椭圆的长半轴、半焦距的值，再利用长半轴、半焦距、短半轴之间的关系求出短半轴的长，待定系数法求出椭圆方程．
（2）设出M、N两点的坐标M（4，t₁），N（4，t₂），因为，可得：5×3+t₁t₂=0，化简的结果等于1，大于0，故∠MON为锐角，所以原点O在圆E外．
解答：解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由题意得：，4a=8，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0）．设M（4，t₁），N（4，t₂），
则=（5，t₁），=（3，t₂），=（4，t₁），=（4，t₂），
因为，所以5×3+t₁t₂=0．
=4×4+t₁t₂=16-15=1＞0，
故∠MON为锐角．所以原点O在圆E外．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，2个向量的数量积的运算及点与圆的位置关系．