Question

已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F₁，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点．
（1）求抛物线的方程和椭圆方程；
（2）假设椭圆的另一个焦点是F₂，经过F₂的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足

F2P

=m

F2Q

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设抛物线、椭圆的标准方程，利用抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F₁，即可求得抛物线的方程和椭圆方程；
（2）设直线的方程为y=k（x+1），联立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，根据直线l与抛物线相交于P、Q两点，确定k的范围，利用

F2P

=m

F2Q

，可得

1

m

+m=

4

k2

-2，利用k的范围，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
把M（1，2）点代入方程得：抛物线方程为y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆经过点M，椭圆的焦点F₁（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 4 b2 =1

∴a2=3+2

2

，b2=2+2

2

，
∴椭圆方程为

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1…（6分）
（2）椭圆的焦点F₁（1，0），另一个焦点为F₂（-1，0），
设直线的方程为y=k（x+1），联立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因为直线l与抛物线相交于P、Q两点，所以

k≠0 (2k2-4)2-4k2＞0

，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 4-2k2 k2 x1•x2=1

，
由

F2P

=m

F2Q

得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以

x1+1=m(x2+1) y1=my2

，
∵P、Q为不同的两点，∴m≠1，y12=m2y22，
即4x1=m2•4x2，∴x1=m2x2
解得x2=

1

m

，x1=m，
∴x1+x2=

1

m

+m…（12分）
即

1

m

+m=

4

k2

-2，
∵0＜k²＜1，
∴

4

k2

-2＞2，即

1

m

+m＞2
∴m＞0且m≠1…（14分）

点评：本题重点考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定k的范围，找出k，m的关系，综合性强