Question

已知函数f（x）=．
（I）用定义证明函数在区间[1，+∞）是增函数；
（II）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

（I）证明：任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=-=，
∵1≤x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=在区间[1，+∞）是增函数；
（II）由（I）知函数f（x）=在[2，4]上是增函数，
∴f（x）_max=f（4）==，
f（x）_min=f（2）=．
分析：（Ⅰ）在区间[1，+∞）内任取两数x₁，x₂并规定好大小，再作差f（x₁）-f（x₂），根据增函数的定义判断即可；
（Ⅱ）又（1）可知f（x）=在区间[1，+∞）是增函数，从而在[2，4]上亦然为增函数，于是可求得函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．
点评：本题考查函数单调性的性质，着重考查利用函数单调性的定义证明其单调性，属于中档题．