Question

给出下列命题：
（1）?x∈（0，+∞），恒有log₂x+2²＞2x成立；
（2）?x∈（0，+∞），使得log₂x+2^x＞2x成立；
（3）?（a，b）∈{（x，y）|y=2^x}，必有（b，a）∈{（x，y）|y=log₂x}；
（4）?x∈（0，+∞），使得log₂x=2^x．
其中正确命题是

1. A.
   （1）（3）
2. B.
   （1）（4）
3. C.
   （2）（3）
4. D.
   （2）（4）

Answer 1

C
分析：对于（1）（2）可取特殊值进行说明，对于（3）根据反函数的性质可知结论，对于（4）根据函数y=2^x与函数y=log₂x的图象无交点，故不存在x∈（0，+∞），使得log₂x=2^x，从而得到结论．
解答：（1）当x=8时，log₂8+2²=3+4=7＜16，log₂x+2²＞2x不成立
（2）当x=2时，log₂2+2²=1+4=5＞4，故?x∈（0，+∞），使得log₂x+2^x＞2x成立；
（3）根据函数y=2^x与函数y=log₂x互为反函数可知图象关于y=x对称，从而?（a，b）∈{（x，y）|y=2^x}，必有（b，a）∈{（x，y）|y=log₂x}成立；
（4）函数y=2^x与函数y=log₂x的图象无交点，故不存在x∈（0，+∞），使得log₂x=2^x．
故选C．
点评：本题的考点是指数函数和对数函数图象的应用，以及反函数的有意义，属于基础题．