题目内容

已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3
(ω＞0)，的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若f(α)=
2
3
，求cos(4α+
2
3
π)的值．
（1）因为f(x)=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3

=sin2ωx+
3
cos2ωx
=2sin（2ωx+
π
3
）．
∵函数的周期是π，所以
2π
2ω
=π，
解得ω=1；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+
π
3
）．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），
解得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
（k∈Z）．
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]（k∈Z）．
（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x+
π
3
）．
f(α)=
2
3
，所以
2
3
=2sin（2x+
π
3
）．
∴sin（2x+
π
3
）=
1
3
．
∴cos(4α+
2
3
π)=2sin2（2x+
π
3
）-1=2×(
1
3
)2-1=-
7
9
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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