Question

已知函数f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把f（x）的图象向右平移m个单位后，在[0，

π

2

]是增函数，当|m|最小时，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角差的余弦公式与二倍角公式将f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx化为f（x）=2sin（2x+

π

3

）及可求其周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象向右平移m个单位后，得到g（x）=2sin（2x-2m+），可求其单调增区间为[-

5π

12

+m+kπ，

π

12

+m+kπ]，再结合g（x）在[0，

π

2

]是增函数，即可求得|m|最小值．

解答：解：（ I）f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

cos²x+sinxcosx-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）…（4分）
∴T=

2π

2

=π…（6分）
（II）g（x）=2sin（2x-2m+

π

3

）…（8分）
由2kπ-

π

2

≤2x-2m+

π

3

≤2kπ+

π

2

得单调递增区间为[-

5π

12

+m+kπ，

π

12

+m+kπ]，
∵g（x）在[0，

π

2

]是增函数，
∴-

5π

12

+m+kπ=0，m=

5π

12

-kπ，…（10分）
∴当|m|最小时，m=

5π

12

 …（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合考察了两角差的余弦公式与二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了正弦函数的单调性，求最值问题等，熟练掌握三角函数公式与三角函数性质是解决问题的关键，属于难题．