Question

【题目】（题文）（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 （3）见解析

【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有， 即 ，化简得， 可得 ， 即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.

解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

解得d＝1，q＝2，

所以.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，

有，

即 ，

由于，且为正整数，所以，

所以，

可得 ， 即，

①当1≤m≤2时，不等式不成立；

②当 或 时 成立；

③当时，，，即，则有；

所以的最小值为6，

当且仅当，且 或 时取得．

（3）由题意得：

（1）

（2）

（1）—（2）得

，

求得 ，

所以 ，

设，则，

所以 在上单调递增，有，

可得 .

当，且N*时，，

有 ，

所以，

可得，

所以.