题目内容
设l满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则
+
的最小值为
|
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
4
4
．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求
+
的最小值．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAC），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），则y=-
x+
，
平移直线y=-
x+
，由图象可知当直线y=-
x+
经过点是，直线的截距最大，此时z最大为1．
由
，解得
．即C（1，1），
代入目标函数z=ax+by得a+b=1．
∴
+
=（
+
）（a+b）=1+
+
+1=2+
+
≥2+2
=2+2=4，
当且仅当
=
即a=b=
时取等号，
∴
+
的最小值为4．
故答案为：4．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），则y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
平移直线y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
由
|
|
代入目标函数z=ax+by得a+b=1．
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
|
当且仅当
| a |
| b |
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
故答案为：4．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用基本不等式的性质可求
+
的最小值．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
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