Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

3

2

，且过点（

3

，

1

2

）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据e=

3

2

，可得b²=

a2

4

，故所求椭圆为

x2

a2

+

4y2

a2

= 1，把点（

3

 ，  

1

2

）代入椭圆的方程可得a²=4，从而得到椭圆的方程．
（Ⅱ）将直线y=kx+m与

x2

4

+y2 = 1联立，得到 4k²+1-m²＞0  ①，由中点公式及

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，得到整理得3km=4k²+1  ②，由①②可得k²＞

1

5

，又  S_△OPQ为

2 20+ 1 k2 - 1 k4

9

，故当

1

k2

=

1

2

 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=

2

，m=

3 2

2

，从而得到l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

2

，∴c=

3

2

a，∴b²=a²-c²=

a2

4

，故所求椭圆为：

x2

a2

+

4y2

a2

= 1．
又椭圆过点 （

3

 ，  

1

2

），∴

3

a2

+

1

a2

= 1，∴a²=4，b²=1，
∴

x2

4

+ y2 = 1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）
将直线y=kx+m与

x2

4

+y2 = 1   联立得  （1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=16（4k²+1-m² ）＞0，即 4k²+1-m²＞0  ①，
又x₀=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y₀=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

，又点[-1，0]不在椭圆OE上．
依题意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，整理得3km=4k²+1  ②． 由①②可得k²＞

1

5

，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

，
设O到直线l的距离为d，
则S_△OPQ=

1

2

• d• |PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 • 16(4k2+ 1 - m2)

1+4k2

  
=

2 (4k2+ 1) (5k2-1)

9k2

=

2 20+ 1 k2 - 1 k4

9

．
当

1

k2

=

1

2

 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=

2

，m=

3 2

2

，
∴直线方程为 y=

2

x+

3 2

2

．

点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，求出k值，是解题的难点和关键．