Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（I）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）条件：“cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0”形式是两角和余弦函数，可转化成一个角的三角函数，从而解三角方程求出φ；
（2）如下图，相邻两条对称轴之间的距离等于半个周期，由此可求出ω，从而可求出f（x）的解析式，再结合下面图形中正弦函数的
单调性，求出函数f（x）的值域．

解答：解：（I）由cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0得cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0
即cos(

π

4

+φ)=0又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

（Ⅱ）由（I）得，f(x)=sin(ωx+

π

4

)，依题意，结合图：
，

T

2

=

π

3

，又T=

2π

ω

，
故ω=3，∴f(x)=sin(3x+

π

4

)，
∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤3x+

π

4

≤π，∴-

2

2

≤f(x)≤1，
函数f（x）的值域为[-

2

2

，1]．

点评：三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，三角函数的单调性与对称性是函数的重要性质，合理使用函数的性质，正确理解它们的含义，是熟练利用这些基本性质解综合问题的前提．