Question

【题目】已知函数，．

（1）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；

（2）记在内的零点为，，若（）在内有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．

Answer 1

【答案】（1）在区间有且仅有唯一实根；

（2），证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出，得出函数在上单调递增，在利用零点的存在性定理，即可得到结论；（2）由（1）知，当时，，且存在使得，故时，；当时，，得出因而，根据的单调性，判定出与的大小关系，在给出相应的证明．

试题解析：（1）证明：，定义域为，，

而，故，即在上单调递增，

又，，而在上连续，故根据根的存在性定理有：在区间有且仅有唯一实根

（2）由（1）知，，当时，，且存在使得，故时，；当时，．

因而，

显然当时，，因而单增；当时，，，因而递减；在有两不等实根，，

则，

显然当时，，下面用分析法给出证明．要证：即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即，

记，，其中．

，

记，，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，

即单增．从而时，即，

故得证