Question

已知三角形ABC的顶点分别为A（-3，0）、B（9，5）、C（3，9），直线l经过C把三角形的面积为1：2两部分，求直线l的方程．

Answer 1

分析：当直线l的斜率不存在时，经检验不满足条件． 当直线l的斜率存在时，由 k≥k_CA，或 k≤K_CB，求出k 的范围，求出A、B两点到直线直线l 的距离，由A、B两点到直线直线l 的距离之比等于1：2或 2：1，求出k值，用点斜式求得直线l的方程．

解答：解：设直线l与线段AB的交点为D，则A、B两点到直线直线l 的距离之比等于1：2或 2：1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=3，A到直线l的距离为6，B到直线l的距离为 6，不满足条件．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y-9=k（x-3），即 kx-y+9-3k=0，
由题意知，k≥k_CA，或 k≤K_CB，∴k≥

9-0

3+3

=

3

2

，或 k≤

9-5

3-9

=-

4

3

．
即k≥

3

2

，或 k≤-

4

3

．
A到直线l的距离为 

|-3k-0+9-3k|

k2+1

=

|9-6k|

k2+1

，B到直线l的距离为

|9k-5+9-3k|

k2+1

=

|4+6k|

k2+1

，
由题意得 

|9-6k|

|4+6k|

=

1

2

，或  

|9-6k|

|4+6k|

=2，解得 k=

11

3

 或 k=-

17

6

．
故直线l的方程为 

11

3

x -y -2= 0，或-

17

6

x-y+

35

2

=0．
即11x-3y-6=0或17x+6y-105=0，
故直线l的方程为11x-3y-6=0，或17x+6y-105=0．

点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出直线l的斜率k 的范围是解题的难点和关键．