Question

已知定义域为R的函数f（x）=ax²+2x+c的值域是[0，+∞），那么

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值为

1

．

Answer 1

分析：利用二次函数的性质可得ac=1，且a和c都是正数，把要求的式子化为（a+c）-

2

a+c

，显然当a+c最小时，

c

a2+1

+

a

c2+1

最小，而由基本不等式可得a+c的最小值等于2，从而得到要求式子的最小值．

解答：解：∵定义域为R的函数f（x）=ax²+2x+c的值域是[0，+∞），
∴a＞0，且判别式△=4-4ac=0，∴ac=1，∴c＞0．
∴

c

a2+1

+

a

c2+1

=

c

a(a+c)

+

a

c(a+c)

=

c2+a2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

a+c

=（a+c）-

2

a+c

，
故当a+c最小时，

c

a2+1

+

a

c2+1

最小．
而a+c≥2

ac

=2，当且仅当a=c时，等号成立，故

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值等于 2-

2

2

=1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．