Question

【题目】已知正四棱柱的底面边长为，高为，现从该正四棱柱的个顶点中任取个点.设随机变量的值为以取出的个点为顶点的三角形的面积.

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）因为正四棱柱的底面边长为，高为，

所以面积为的三角形的个点为顶点只能是同一底面上的顶点，共有个.

因此……………4分

（2）显然题设三角形三边不可能都是正四棱柱的棱.

①若三角形中恰有两边为正四棱柱的棱，另一边为底面对角线时，由（1）知，；若三角形中恰有两边为正四棱柱的棱，另一边为侧面对角线时，且

②若三角形中恰有一边为正四棱柱底面的棱时，且

若三角形中恰有一边为正四棱柱侧棱时，且

③若三角形中的边都不是正四棱柱的棱，则三边中两条为侧面对角线，一条为底面对角线.于是且

所以随机变量的分布列是

因此……………10分