Question

对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．

   （1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；

   （2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；

   （3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．

Answer 1

解：（1）对于函数，当时，．

当或时，恒成立，故是“平底型”函数． 

对于函数，当时，；当时，．

所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．      

（Ⅱ）若对一切R恒成立，

则．所以．又，则．     

则，解得．故实数的范围是．       

（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，

则存在区间和常数，

使得恒成立．

所以恒成立，

即．解得或．        当时，．

当时，，当时，恒成立．

此时，是区间上的“平底型”函数．    

当时，．

当时，，当时，．

此时，不是区间上的“平底型”函数．  综上分析，m＝1，n＝1为所求．