题目内容
如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
答案：
解析：
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证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°， ∴AC＝A1C1＝ 设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β ∴tanα＝ tgβ＝ ∵cot(α＋β)＝ ∴α＋β＝90° 即AC1⊥A1M． ∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1， AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影． ∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1． 解析：不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影．欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了． 评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α＋β＝90°，与常见的其他题目不太相同． |
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