Question

已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是

2

+1

．

Answer 1

分析：设正方形边长为a，∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．

解答：解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

）．
在△OBC中，a²+1-2acos（

π

2

+θ）=OC²，
∴OC²=（2cosθ）²+1+2•2cosθ•sinθ=4cos²θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，
∵θ∈[0，

π

2

），
∴2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

），
∴2θ+

π

4

=

π

2

时，OC²的最大值为2

2

+3
∴线段OC长度的最大值是

2

+1
故答案为：

2

+1

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC关于θ的三角函数，属于中档题．