Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
（1）．若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）．若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是单调递增函数，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），故k•3^x＜9^x-3^x+2，由此能够求出k的范围．

解答：解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）
（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，
又f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
故k•3^x＜9^x-3^x+2，
∴k＜3x+

2

3x

-1，
令t=3^x，
∵x∈[-1，1]恒成立，
∴t=3x∈[

1

3

，3]，
∴k＜t+

2

t

-1，
而t+

2

t

≥2

2

，
当且仅当t=

2

t

，t=

2

时，取等号，
即k＜2

2

-1．

点评：本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．