Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，F是PB的中点．
（1）求证：DF⊥AP；
（2）在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理平移作出异面直线所成的角，再利用余弦定理即可求出；
（2）利用平行四边形、线面垂直的判定定理和性质即可得出．

解答：证明：（1）取AB中点E，连接EF，DE
∵E，F分别是AB，PB的中点，
∴EF∥AP，
∴AP 和DF所成的角即为EF和DF所成的角，即∠DFE或其补角；
由已知四边形ABCD是正方形，
假设PD=DC=a，
则有DB=

2

a，PB=

3

a，DF=

3

2

aAE=

a

2

，DE=

5

2

a，PA=

2

a，EF=

2

2

a
∴cos∠DFE=

DF2+EF2-DE2

2DF•EF

=0，
∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．
（2）解：G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．
证明如下：取PC中点H，连接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，
∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC
∴DH⊥平面PCB．                           
∵HF∥BC，且HF=

1

2

BC，∴HF

∥

.

GD，
∴四边形DGFH为平行四边形，DH∥GF，
∴GF⊥平面PCB．

点评：熟练掌握利用三角形的中位线定理及余弦定理求异面直线所成的角、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．