Question

已知函数（a≠0）满足，为偶函数，且x＝－2是函数的一个零点．又（＞0）．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x 的方程在上有解，求实数的取值范围；

（3）令，求的单调区间．

 

Answer 1

（1）函数的解析式为； （2）实数的取值范围为；

（3）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为和；

单调递增区间为和．

【解析】

试题分析：（1）由得，又为偶函数，是函数的一个零点，得出关于的方程，即可求函数的解析式；

（2）在上有解，等价于在上有解，可求实数的取值范围；

（3）先求出的解析式，再分、两种情况求出的单调区间．

（1）由得 1分

∵即

又∵为偶函数　　∴　① 2分

∵是函数的一个零点　∴　∴　②

解①②得a＝1，b＝－2

∴ 4分

（2）在上有解，即在上有解．

∴

∵在上单调递增

∴实数的取值范围为 8分

（3）即

9分

①当时，的对称轴为

∵m>0 ∴ 总成立　

∴在单调递减，在上单调递增． 11分

②当时，的对称轴为

若即，在单调递减 13分

若即，在单调递减，在上单调递增． 15分

综上，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为和；单调递增区间为和． 16分

考点：函数性质综合应用、分类讨论思想.