Question

设函数y₁=ax2-2x+1，函数y₂=ax2-3x+5其中a＞0，且a≠1，
（1）当 y₁=y₂时，求x的取值．
（2）当a=2且y₁＞y₂时，求x的取值范围
（3）当a=

1

2

且x∈[2，+∞）时，令函数f(x)=

y1

y2

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于y₁=y₂，即ax2-3x+5=ax2-3x+5，可得x²-2x+1=x²-3x+5，由此求得x的值．
（2）由条件可得 2x2-2x+1＞2x2-3x+5，故有x²-2x+1＞x²-3x+5，由此求得x的范围．
（3）当a=

1

2

时，化简f(x)=

y1

y2

 为(

1

2

) x-4，根据x≥2，可得x-4≥-2，从而求得f（x）的范围．

解答：解：（1）∵y₁=y₂，即ax2-3x+5=ax2-3x+5，∴x²-2x+1=x²-3x+5，∴x=4                              （4分）
（2）∵y₁＞y₂ 且a=2，∴2x2-2x+1＞2x2-3x+5，
∴x²-2x+1＞x²-3x+5，解得x＞4．（8分）
（3）当a=

1

2

时，f(x)=

y1

y2

=

( 1 2 )x2-2x+1

( 1 2 )x2-3x+5

=(

1

2

) x-4，（10分）
∵x≥2，∴x-4≥-2，∴f(x)=(

1

2

) x-4≤4，（12分）

结合函数图象可得f(x)=(

1

2

) x-4的值域是（0，4]．（14分）

点评：本题主要考查对数不等式的解法，复合函数的单调性的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．