Question

（2013•昌平区一模）已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解出a，再求出f′（x）=0，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．
（II）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求导，然后分a＞0和a≤0两种情况分别讨论f（x）在（0，+∞）上的最大值情况即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′（x）=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）； …（3分）
此时，知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

）（5分），
x∈[-1，1]时，如下表：
…．（6分）
∴x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4，…（7分）
（II）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

），
（1）若a≤0，
当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0时，
当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0．当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

]上单增，在[

2a

3

，+∞）单减；
∴x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（

2a

3

）=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必须

4a3

27

-4＞0
∴a³＞27，a＞3 …（13分）
综上，a的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题考查了导数的运算，导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识点，涉及了分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．