Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

3

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=

3

中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．

解答：解：（Ⅰ）由2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（2分）
整理得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（4分）
又A为三角形的内角，
则A=60°；…（5分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°-60°=120°，即C=120°-B，…（6分）
代入sinB+sinC=

3

得：sinB+sin（120°-B）=

3

，…（7分）
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=

3

，…（8分）
∴

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

，即sin（B+30°）=1，…（10分）
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，…（11分）
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．…（12分）．

点评：此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．