Question

若函数f（x）=e^xsinx（e是自然对数的底数），则此函数在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（　　）

• A．

  π

  2

• B．0
• C．钝角
• D．锐角

Answer 1

分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=5处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而得到结论．

解答：解：∵y=e^xsinx，
∴y′=（e^x）′sinx+（e^x）•（sinx）′
=e^xsinx+e^xcosx
=e^x（sinx+cosx）．
在点（4，f（4））处的切线斜率为y′|_x=4=e⁴（sin4+cos4）=

2

e⁴sin（4+

π

4

）．
∵4+

π

4

在第四象限，则

2

e⁴sin（4+

π

4

）为负值，故切线的倾斜角为钝角．
故选C．

点评：本题主要考查了直线的倾斜角、利用导数研究曲线上某点切线方程、三角函数值的符号等基础知识，同时考查了计算能力，属于中档题．