Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其n项和为S_n，且2

Sn+1

=an+1(n≥2).数列{b_n}为等比数列，且a1=3，b1=1，bn＞0，数列{ban}是公比为64的等比数列．
（I）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）对2

Sn+1

=an+1(n≥2).两边平方得到①，再由n≥2时，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②，利用①-②化简得到数列{a_na_n}是首项为3，公差为2的等差数列，即可求出a_n的通项公式，因为数列{b_n}为首项为1，公比设为q的等比数列，根据数列{ban}是公比为64的等比数列求出q即可得到b_n的通项公式；
（II）S_n为等差数列的前n项和，所以根据等差数列的求和公式求出S_n通项公式，然后把不等式的左边变形化简得到小于

3

4

即可．

解答：解：（I）依题意有：4S_n+4=（a_n+1）²①，所以当n≥2时，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②
①-②得：4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²化简得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0
所以数列{a_n}是以2为公差的等差数列．
故a_n=3+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1．
设{b_n}的公比为q，则b_n=q^n-1
∵数列{ban}是公比为64的等比数列
∴

ba2

ba1

=

b5

b3

=q2=64
解得q=8∴b_n=8^n-1

（II）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
＜

3

4

点评：考查学生灵活运用等比、等差数列通项公式的能力，以及会对一个数列进行求和．