Question

3．在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，
（1）求证：a=2b；
（2）若c=$\sqrt{3}$b，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．
（2）利用已知及（1）计算可得a²=c²+b²，由勾股定理可得△ABC为直角三角形．

解答 解：（1）证明：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，得证．
（2）∵a=2b，c=$\sqrt{3}$b，
∴a²=4b²=3b²+b²=c²+b²，由勾股定理可得△ABC为直角三角形．

点评 此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．