Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）；
（3）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），即a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，∴，
∴即数列{a_n}是等比数列．…（2分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴．…（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2．
即数列{b_n}是等差数列，又b₁，∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）∵，
∴++…+
=++…+
=（1-++…+）
=
=．…（9分）
（3）T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，…（11分）
∴-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．…（13分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2，利用，能求出数列{a_n}的通项公式，由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由，利用裂项求和法能求出++…+．
（3）由T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．利用错位相减法能求出T_n．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和错位相减法的合理运用．