Question

已知二次函数f(x)＝x²－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{a_n}的前n项和S_n＝f(n)(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设c_n＝1－(n∈N^*)，定义所有满足c_m·c_m＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

解：(1)依题意，Δ＝a²－4a＝0，∴a＝0或a＝4.

又由a>0得a＝4，

∴f(x)＝x²－4x＋4.

∴S_n＝n²－4n＋4.

当n＝1时，a₁＝S₁＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－5.

∴a_n＝

由1－＝可知，当n≥5时，

恒有a_n>0.

又c₁＝－3，c₂＝5，c₃＝－3，c₄＝－，c₅＝，

即c₁·c₂<0，c₂·c₃<0，c₄·c₅<0，

∴数列{c_n}的变号数为3.