Question

某化工厂生产某产品的年固定成本为200万元，每生产1吨另投入12万元，设化工厂一年内共生产该产品x吨并全部销售完，每吨的销售收入为R（x）万元，且R（x）=

112- 1 3 x2(0＜x≤15) 1230 x - 10800 x2+x (x＞15)

．
（Ⅰ）求年利润y（万元）关于年产量x（吨）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量为多少吨时，化工厂在这一产品的生产中所获年利最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意分0＜x≤15和当x两种情况得到y与x的分段函数关系式；
（Ⅱ）当0＜x≤15时，利用导数法求最大值，当x＞15时，利用基本不等式来求L的最大值，再进行比较，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当0＜x≤15时，y=100x-

1

3

x3-200
当x＞15时，y=1030-(

10800

x+1

+12x)
∴y=

100x- 1 3 x3-200，(0＜x≤15) 1030-( 10800 x+1 +12x)，(x＞15)

（Ⅱ）当0＜x≤15时，y′=100-x²=0，∴x=10
∴x=10时，ymax=

1400

3

当x＞15时，y=1030-(

10800

x+1

+12x)=1042-[

10800

x+1

+12(x+1)]≤1042-720=322
当且仅当

10800

x+1

=12(x+1)，∴x=29，y_max=322
∵

1400

3

＞322，∴x=10时，取得最大值

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，考查基本不等式的运用．