Question

如图，两县城A和B相距20km，O为AB的中点，现要在以O为圆心、20km为半径的圆弧

MN

上选择一点P建造垃圾处理厂，其中MA⊥AB，NB⊥AB．已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A和城B的影响度之和．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9．记垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，设AP=xkm，∠POA=θ．
（I）写出x关于θ的函数关系，并求该函数的定义域和值域；
（II）当x为多少km时，总影响度最小？

Answer 1

分析：（I）根据在三角形中应用余弦定理做出变量的表示式，得到一个关于三角函数的解析式，根据三角函数的性质做出函数的定义域和值域．
（II）根据余弦定理表示出要求的量，根据上一问的结果，得到变量的表示式，对函数求导，使得导函数大于0，小于0，求出函数的单调区间，得到最值，说明最值的实际意义．

解答：解：（I）在△POA中，有余弦定理得：
x²=400+100-2×20×10cosθ=500-400cosθ
∴x=10

5-4cosθ

定义域为[

π

3

2π

3

]，值域为[10

3

，10

7

]
（II）在△POA中，有余弦定理得：
PB²=400+100-2×20×10cos（π-θ）=500+400cosθ
∵由（I）知400cosθ=500-x²，
∴PB²=1000-x²
∴y=

9

x2

+

4

1000-x2

∴y′=

10(x2-600)(3000-x2)

x3(1000-x2 )2

∵10

3

≤x≤10

7

，
令y′=0
得x=10

6

当10

3

≤x≤10

6

时，y′＜0
当10

6

≤x≤10

7

，y′＞0
∴当x=10

6

时，y取极小值也是最大值．
即当AP为10

6

时，总影响度最小．

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，注意不同中导数的应用．