Question

如图，某人在A城的南偏西20°方向上的M处观测到一辆汽车在B处沿公路向A城行驶，公路走向是A城的南偏东40°，开始时，汽车到M处的距离为31km，汽车前进20km到达C处时，距M处的距离短了10km．问汽车还需行驶多少路程才能到达A城？

Answer 1

分析：由题意可知MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，由余弦定理可求得cos∠MCB，进而求得cos∠ACM和sin∠ACM，再由正弦定理进而求得AC．

解答：解：△AMC中，MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，
由余弦定理得：cos∠MCB=

MC2+BC2-MB2

2MC•BC

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
cos∠ACM=-cos∠MCB=

1

7

，∴sin∠ACM=

1-( 1 7

)2=

4 3

7

．
△AMC中，由正弦定理得：AC=

MC•sin∠AMC

sin∠MAC

=

MC•sin(∠MAC+∠ACM)

sin∠MAC

=

21×( 3 2 × 1 7 + 1 2 × 4 3 7 )

3 2

=15km．
答：汽车还需行驶15km才能到达A城．

点评：题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．