Question

设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=﹣1，
（I）求f（1）、的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且，
得．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，
由条件（1）可得，
因，由（2）知，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：其中0＜x＜2，
由函数f（x）在R₊上的递减性，可得：，
由此解得x的范围是．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化为且0＜x＜2，
得，
此不等式有解，等价于，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2﹣x）_max=1，
故即为所求范围．