Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=

2

，CD=1．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：MC⊥BD；
（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证MN∥平面PCD，根据MN?平面MNE，可先证平面MNE∥平面PCD，取AD中点E，连接ME，NE，根据中位线可知ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，满足平面与平面平行的判定定理，最后根据性质定理可知结论；
（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，求出

MC

与

BD

，根据

MC

•

BD

=0即可证明MC⊥BD；
（3）先求出平面PBD的法向量，然后求出平面PAB的法向量，设二面角A-PB-D的平面角为θ，最后根据向量的夹角公式求出二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，
射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分）
则D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0）C（0，1，0），P（0，0，

2

）（6分）
所以M（

2

2

，0，

2

2

），

BD

=(-

2

，-1，0)，

MC

=(-

2

2

，1，-

2

2

)（7分）
∵

MC

•

BD

=0，所以MC⊥BD（8分）

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE，
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分）
由已知E(

2

2

，0，0)，
所以平面PBD的法向量

EC

=(-

2

2

，1，0)（10分）
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，
所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，（11分）
所以平面PAB的法向量

MD=

（-

2

2

，0，-

2

2

）
设二面角A-PB-D的平面角为θ，
则cosθ=

EC • MD

| EC || MD |

=

6

6

．
所以，二面角A-PB-D的余弦值为

6

6

．（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．