题目内容

（2010•福建模拟）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|F1M|
为定值，且定值是
10
3
”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F1、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）．
分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），由抛物线C过点（1，2），解得p=2．由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为2．
证明：设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．△=16t2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4，x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，故线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t2-1），令y=0，得M（2t2+3，0），由此能推导出
|AB|
|FM|
=2．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为2．
解答：解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），
∵抛物线C过点（1，2），
∴22=2p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y2=4x．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为2．
证明如下：
设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，
代入y2=4x，消去x，得y2-4ty-4=0．
∵△=16t2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4，
x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，
∴线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t2-1），
令y=0，解得x=2t2+3，
即M（2t2+3，0），
∴|FM|=2t2+2，
由抛物线定义知，|AB|=x1+x2+2=4t2+4，
∴
|AB|
|FM|
=2．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（2010•福建模拟）考察等式：
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=
C
k
m
C
r-k
n-m
C
r
n
，k=0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A0）+P（A1）+…P（Ar）=
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
C
r
n
，
所以
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③证明正确  ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号
①③
①③
．
（2010•福建模拟）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．
（2010•福建模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，沿x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是
x=-3+
3
2
t
y=
1
2
t
（t为参数），M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．
（2010•福建模拟）某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表：
表1：甲系列
动作 K动作 D动作
得分 100 80 40 1-
概率
3
4
1
4
3
4
1
4
表2：乙系列
动作 K动作 D动作
得分 90 50 20 0
概率
9
10
1
10
9
10
1
10
现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分
（Ⅰ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；
（Ⅱ）若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望Eξ．
（2010•福建模拟）今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量．当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合．那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网