Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=0，当x＞0时有，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-1，0）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：构造g（x）=，可得g′（x）=，①当x＞0时有，可得函数g（x）在x＞0时单调性，可得=的解集，利用?xf（x）＞0，即可得出不等式xf（x）＞0的解集；
②由于f（x）是偶函数，当x＜0时，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得即可．
解答：解：令g（x）=，则g′（x）=，①当x＞0时有，∴函数g（x）在x＞0时单调递增，∵f（1）=0，∴=的解集为{x|x＞1}，又?xf（x）＞0，∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1}；
②由于f（x）是偶函数，∴当x＜0时，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得0＜-x＜1，即-1＜x＜0．
综上可知：不等式xf（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．
故选B．
点评：通过构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性及利用偶函数的性质是解题的关键．