Question

已知函数f（x）=ax³-6ax²+b，问是否存在实数a、b使f（x）在［-1，2］上取得最大值3，最小值为-29?若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:显然a≠0.                                                       

f′（x）=3ax²-12ax=3a（x²-4x）.                                           

令f′（x）=0，得x=0或x=4[-1，2]（舍）.                                 

（1）a＞0时，如下表：

x	（-1，0）	0	（0，2）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值b	↘

∴当x=0时，f（x）取得最大值.∴b=3.又?f（2）=-16a+3，f（-1）=-7a+3＞f（2），∴当x=2时，f（x）取得最小值.∴-16a+3=-29.∴a=2.                                     

（2）a＜0时，如下表：

x	（-1，0）	0	（0，2）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	最小值b	↗

∴当x=0时，f（x）取得最小值.∴b=-29.又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2），∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2.

综上所述