Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx（），g（﹣1）=0，则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）0．设x₁，x₂为方程f（x）=0的两根．

（1）求的取值范围；
（2）若当|x₁﹣x₂|最小时，g（x）的极大值比极小值大，求g（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）由题意可得b﹣a﹣c=0，函数f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c（3a+2b+c）0．
化简可得 3b²﹣ab﹣2a²0，
a0，
3﹣﹣20．解得﹣1，
故 的取值范围是．
（2），
，
故当 ，即a=b时，取最小值，即|x₁﹣x₂|取最小值．
此时，g（x）=ax³+ax²
f（x）=3ax²+2ax．
当a＞0时  f（x）在 上是增函数，在 上是减函数，在（0，+） 上是增函数．
g（x）的极大值为，极小值为g（0）=0．
由题意，a=9，此时g（x）=9x³+9x²．
当a＜0时，f（x）在 在 上是减函数，在 上是增函数，在（0，+） 上是减函数．
g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为．
由题意 ，a=﹣9，此时g（x）=﹣9x³﹣9x²．