Question

已知数列{a_n}的前n项和为K_n，a₃=5，2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），K₁₀=100；数列{b_n}的前n项和为S_n，sn=

1

2

(1-bn)，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）若c_n=

Knbn

n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）数列{a_n}满足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），可得此数列是等差数列．利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（2）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（3）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解　（1）∵数列{a_n}满足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），∴此数列是等差数列．
设公差为d，∵a₃=5，K₁₀=100，
∴

a1+2d=5 10a1+ 10×9 2 d=100

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）当n≥2时，
b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（1-b_n）-

1

2

（1-b_n-1）
=-

1

2

b_n+

1

2

b_n-1，
2b_n=-b_n+b_n-1
∴由题意可知b_n-1≠0，

bn

bn-1

=

1

3

，
∴{b_n}是公比为

1

3

的等比数列．
∵S₁=b₁=

1

2

（1-b₁），b₁=

1

3

．
∴bn=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（3）由（1）可得K_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
∴cn=

n2•( 1 3 )n

n

=n•(

1

3

)n．
∴T_n=1×

1

3

+2×(

1

3

)2+…+(n-1)•(

1

3

)n-1+n•(

1

3

)n，

1

3

Tn=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3…+(n-1)•(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-n•

1

3n+1

=

1 3 •(1- 1 3n )

1- 1 3

-n•

1

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n

)-

n

3n+1

，
∴T_n=

3

4

-

3+2n

4×3n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．