Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]且f（x）的最小值是4，求a的值；
（3）对于（2）中的a值，求满足f（x）=6且x∈[-π，π]的x取值集合．

Answer 1

分析：（1）先对f（x）进行化简变形，然后利用周期公式可得结果；
（2）先求得x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值，然后令其为4即可求得a值；
（3）由（2）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+5，先解出x的一般表达式，然后根据x∈[-π，π]可得x值；

解答：解：（1）f（x）=2×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
所以f（x）_min=2×(-

1

2

)+a+1=4，解得a=4；
（3）由（2）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+5，
则f（x）=6，即2sin（2x+

π

6

）+5=6，所以sin（2x+

π

6

）=

1

2

，
则2x+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x+

π

6

=2kπ+

5

6

π，k∈Z，
得x=kπ或x=kπ+

π

3

，k∈Z，
由x∈[-π，π]，得-π≤kπ≤π或-π≤kπ+

π

3

≤π，
解得k=-1，0，1，或k=-1，0，
所以x=-π，0，π，-

2π

3

，

π

3

，
故x的取值集合为：{-π，-

2π

3

，0，

π

3

，π}．

点评：本题考查三角函数的恒等变换、复合三角函数的单调性，属中档题．