Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面ABC内的点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-BPC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（

1

2

，x，y），则

1

x

+

1

y

最小值为

8

．

Answer 1

分析：由图可知：V_{三棱锥P-ABM}+V_{三棱锥P-BCM}+V_{三棱锥P-ACM}=V_{三棱锥P-ABC}，进而得出x+y=

1

2

，再利用基本不等式的性质即可．

解答：解：由图可知：V_{三棱锥P-ABM}+V_{三棱锥P-BCM}+V_{三棱锥P-ACM}=V_{三棱锥P-ABC}，
∴

1

2

+x+y=

1

3

×

1

2

×3×2×1，
∴x+y=

1

2

．（x＞0，y＞0）．
∴

1

x

+

1

y

=2(x+y)(

1

x

+

1

y

)=2(2+

y

x

+

x

y

)≥2×(2+2

y x × x y

)=8，当且仅当

y

x

=

x

y

，即x=y=

1

4

时取等号．
故答案为8．

点评：由已知得出x+y=

1

2

和利用基本不等式的性质是解题的关键．