Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）证明：面PAB⊥面ABCD； 
（2）求异面直线PD与AB所成的角的大小．
（3）求二面角P-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要证面PAB⊥面ABCD，只证AD⊥平面PAB，可证AD⊥AB（已知），AD⊥PA（由勾股定理可证）；
（2）过P作PH⊥AB于H，作HM⊥CD于M点，连接PM，则∠PDM即为所求，DM=HA=PAcos60°=1，在Rt△PDM中，通过解直角三角形可求；
（3）作HE⊥BD于E，连接PE，可证∠PE H为二面角P-BD-A的平面角，通过解直角三角形解出∠PE H，取其补角即为所求；

解答：（1）证明：∵PA²+AD²=4+4=8=PD²，
∴AD⊥PA，
又ABCD为矩形，AD⊥AB，AB∩PA=A，
∴AD⊥平面PAB，
AD?平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD；
（2）解：因为AB∥CD，所以PD与AB成角即为PD与DC成角．
过P作PH⊥AB于点H．过点H作HM⊥CD于M，连接PM．
则PH⊥平面ABCD，所以CD⊥PM，
在Rt△PAH中，AH=PA•cos∠PAH=2×cos60°=1，所以DM=AH=1，
在Rt△PDM中，cos∠PDM=

DM

PD

=

1

2 2

=

2

4

，
所以∠PDC=arccos

2

4

，即所求角为arccos

2

4

；
（3）作HE⊥BD于E，连接PE，
∵面PAB⊥面ABCD，∴PH⊥面ABCD，∴PE⊥BD．∴∠PE H为二面角P-BD-A的平面角，
∵PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，
∴BH=AB-AH=2，BD=

13

，HE=

AD

BD

•BH=

4

13

，
∴在Rt△PHE中，tan∠PEH=

PH

HE

=

39

4

，
∴二面角P-BD-A大小为arctan

39

4

，二面角P-BD-C的大小为πarctan

39

4

．

点评：本题考查面面垂直的判定、二面角异面角的求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．