题目内容

已知函数f(x)=sin(x+
π
2
)cosx-sinxcos(π-x)．
（1）试判断直线x=
π
8
是否是函数f（x）图象的对称轴，并说明理由；
（2）在△ABC中，若f(A)=1，A∈(0，
π
2
)，BC=2，B=
π
3
，求边AC的长．
分析：（1）把f（x）利用诱导公式，二倍角的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数值化简得到一个角的正弦函数，代入x=
π
8
函数是否取得最值，即可判断函数是否关于x=
π
8
对称；
（2）根据f（A）=1利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinA=cosA即A=
π
4
，然后根据正弦定理即可求出AC的值．
解答：解：（1）由 f(x)=sin(
π
2
+x)cosx-sinxcos(π-x)得到：
f（x）=cos2x+sinxcosx=
1+ cos2x
2
+
sin2x
2

=
2
2
（
2
2
cos2x+
2
2
sin2x）+
1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，
∴x=
π
8
时函数f（x）取得最大值，所以直线x=
π
8
是函数f（x）图象的对称轴；
（2）∵f（A）=cos2A+sinAcosA=1
移项得：sinAcosA=1-cos2A=sin2A，因为A为锐角，所以sinA≠0
∴sinA=cosA，则 A=
π
4

根据正弦定理得：
BC
sinA
=
AC
sinB
即
AC
sin
π
3
=
2
sin
π
4
，
所以AC=
2×
3
2
2
2
=
6
．
点评：考查学生灵活运用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，会利用正弦定理解决实际问题．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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