题目内容

已知函数f（x）=2sin $数学公式$ •cos $数学公式$ + $数学公式$ cos $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f $数学公式$ ，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

解：（1）∵f（x）=sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =2sin $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =4π．
当sin $\text{[math]}$ =-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin $\text{[math]}$ =1时，f（x）取得最大值2．
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin $\text{[math]}$ ，
又g（x）=f $\text{[math]}$ ，
∴g（x）=2sin $\text{[math]}$
=2sin $\text{[math]}$ =2cos $\text{[math]}$ ．
∵g（-x）=2cos $\text{[math]}$ =2cos $\text{[math]}$ =g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin $\text{[math]}$ •cos $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ，为y=2sin $\text{[math]}$ ，
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出g（x）=f $\text{[math]}$ 的表达式，g（x）=2cos $\text{[math]}$ ．然后判断出奇偶性即可．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．