Question

已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）=3f（x），f′（x）为f（x）的导数，则

sin2x-3

cos2x+1

=（　　）

• A、

  13

  9

• B、

  11

  6

• C、-

  14

  9

• D、-

  11

  6

Answer 1

分析：由条件f′（x）=3f（x），求得tanx=-

1

2

，化简要求的式子

sin2x-3

cos2x+1

=

-2tan2x-3

2+tan2x

，把tanx=-

1

2

 代入

-2tan2x-3

2+tan2x

，
运算可得结果．

解答：解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx-sinx，
又f′（x）=3f（x）=3sinx+3cosx，∴cosx-sinx=3sinx+3cosx，cosx=-2sinx，tanx=-

1

2

．
∴

sin2x-3

cos2x+1

=

sin2x-3(cos2x+sin2x)

cos2 x+( cos2x+sin2x)

=

-2sin2x-3cos2x

2cos2x+sin2x

=

-2tan2x-3

2+tan2x

=

-2× 1 4 -3

2+ 1 4

=-

14

9

，
故选C．

点评：本题考查导数的求法，同角三角函数的基本关系的应用，求出tanx=-

1

2

 是解题的关键．