题目内容
已知函数f(x)=2ax-
,x∈(0,1],(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
解：(1)由已知，可知f′(x)=2a+,
∵f(x)在x∈(0,1]上是增函数，有f′(x)＞0恒成立，即a＞-
恒成立,而函数g(x)=-
在x∈(0,1)上是增函数，且［g(x)］max=g(1)=-1,
∴a＞-1.当a=-1时，f′(x)=-2+
，对于x∈(0,1］，也有f′(x)≥0,满足f(x)在x∈(0,1］上是增函数,∴a≥-1即为所求.
(2)由(1)知a≥-1时，f(x)在x∈(0,1］上是增函数.
∴当a≥-1时，［f(x)］max=f(1)=2a-1.
当a＜-1时，令f′(x)=2a+
=0，解得x=
,注意到0＜
＜1.
∴当0＜x＜
时，f′(x)＞0;
当
＜x≤1时，f′(x)＜0.
∴当a＜-1时，［f(x)］max=f(
)=2a
-(
)2=-3
.
∴对于x∈(0,1],
当a≥-1时，［f(x)］max=2a-1;
当a＜-1时，［f(x)］max=-3
.
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