Question

已知f（x）=|2^x-1|，
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）比较f（x-1）与f（x）的大小．

Answer 1

分析：（1）将函数转化为分段函数，利用分段函数确定函数单调区间．
（2）利用函数的单调性比较大小．

解答：解：（1）当x≥0时，函数f（x）=|2^x-1|=2^x-1，此时函数单调递增．
当x＜0时，函数f（x）=|2^x-1|=-（2^x-1）=1-2^x，此时函数单调递减．
∴函数的单调递增区间为[0，+∞），单调递减为（-∞，0）．
（2）若x-1≥0，即x≥1，此时函数f（x）单调递增，∴f（x-1）＜f（x），
若x≤0，此时函数f（x）单调递递减，∴f（x-1）＞f（x），
若x＞0且x-1＜0，即0＜x＜1时，
f（x）=2^x-1，f（x-1）=|2^x-1-1|=1-2^x-1，
则f（x）-f（x-1）=2^x-1-（1-2^x-1）=2^x+2^x-1-2=3?2^x-1-2，
若3?2^x-1-2=0，即2x-1=

2

3

，x=1+log?2

2

3

时，f（x）=f（x-1）．
若3?2^x-1-2＞0，即1+log?2

2

3

＜x＜1时，f（x）＞f（x-1）．
若3?2^x-1-2＜0，即0＜x＜1+log?2

2

3

时，f（x）＜f（x-1）．
综上：当x＜1+log?2

2

3

时，f（x）＜f（x-1）．
当x≥1+log?2

2

3

时，f（x）＞f（x-1）．

点评：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，以及利用作差法比较大小．考查学生的运算能力．